INTEGRACIÓN POR PARTES

Se trata de otro método que permite resolver cierto tipo de integrales. Veamos:

Ø Sea u(x) una función. Para abreviar la expresaremos por u. Su derivada será u´ y su diferencial du = u´dx

Ø Sea v(x) otra función. Para abreviar la expresaremos por v. Su derivada será v´ y sudiferencial dv = v´dx

Ø Supongamos que deseamos resolver una integral de la forma siguiente:

                                        I= ∫ u dv= ∫ u⋅ v′ dx

Es decir, la función integrando es el producto de la función u y la derivada de v. Dicho de otro modo, se trata de hallar las primitivas de una función que es el producto de una función u por la diferencial de otra v.

¡Pues bien!

--Vamos a deducir una fórmula que nos permitirá resolver integrales de este tipo.

Veamos:

·       Sea (u·v)(x) = u (x)·v(x) la función producto de u y v. Para abreviar expresaremos u·v

·       Derivemos la función producto: (u·v)´= u´· v + u · v´ (recuerda “derivada de un producto)

·       La diferencial de la función producto será:

          d(u·v) = (u·v)´dx = v · du + u · dv = v · u´dx + u · v´dx

·       Si consideramos la igualdad d(u·v) = v · du + u · dv e integramos en ambos miembros:

           ∫ d (u⋅v) = ∫ ( v ⋅ du + u⋅ dv)          =      ∫ v⋅ du + ∫ u⋅ dv

·       Considerando que la integración es la operación recíproca de la derivación, es decir, “la   integral de la derivada de una función es esa función”:

                               ∫ d (u⋅ v) = ∫(u v) ′ dx  =u v

·       Considerando las dos igualdades anteriores, podemos poner:

                              u⋅ v= ∫ v⋅ du + ∫u⋅ dv

·       Recordemos que el objetivo es calcular la integral  I= ∫ u⋅ dv     por lo que despejando:

                      ∫ u⋅ dv= u⋅v - ∫ v ⋅ du

que es la fórmula del método de integración por partes, la cual nos permite resolver la

integral si antes somos capaces de resolver la integral I u dv = ⋅ ∫

v du