CONCEPTO DE INTEGRAL

Fundamentalmente INTEGRAR, es la operación opuesta a la derivada asi como de la suma es la resta

Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada asi como la

suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce  una notación para la antiderivada de una función

Si F^!(x) = f(x),  se representa 

∫f x  dx= f x + C

A este grafo ∫ se le llama símbolo de  la integral y a la notación ∫fx  dx se le llama integral indefinida  de f(x) con respecto a x. La función f(x)se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama    conste de integración esta surge por la imposibilidad  de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.

∫f x  dx

Esto se lee integral de fx del diferencial de x

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Queremos realizar la integral ∫ ƒ(x) dx donde ƒ no tiene una primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme la integral en una integral inmediata o composición de funciones. Entonces, para el cambio,

x = g(t) dx

dx = g′(t)dt

∫ ƒ(x) dx = ∫ f(g(t))g′(t) dt

De esta forma se ha transformado la integral indefinida en otra, función de la nueva variable t. Si la elección de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es más sencilla de integrar. El éxito de la integración depende, en grado considerable, de la habilidad para elegir la sustitución adecuada de la variable.

Una vez obtenida la función primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable substituyendo t = g (x).

Así se tiene la integral indefinida en función de la variable inicial x.

1. Encuentre ∫ (3x − 5)⁴ dx

Solución. En este caso sencillo podemos observar que esta integral "se parece" a

∫ u⁴ du, lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-5.

u = 3x-5 ⇒ du = 3 dx ⇒ dx = (1/3)du

Sustituyendo en la integral,

∫(3 x − 5)⁴ dx ==∫u⁴ du / 3 = ⅓∫ u⁴ du

=⅓(u⁵/5 ) + c = u⁵/15 +c=∫(3 x − 5)⁵/15 +c

2. Encuentre ∫ cos⁴x senx dx

Solución. En este caso la integral "se parece" a

∫ u⁴ du

lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = cosx.

u = cosx ⇒ du = -senx dx ⇒ dx = -du

∫(cosx) 4 (senx dx) =∫(u⁴) (-du)=-∫u⁴ du= -(u⁵/5) + c

=-(Cos⁵x/5 ) + c

INTEGRACIÓN POR PARTES

Se trata de otro método que permite resolver cierto tipo de integrales. Veamos:

Ø Sea u(x) una función. Para abreviar la expresaremos por u. Su derivada será u´ y su diferencial du = u´dx

Ø Sea v(x) otra función. Para abreviar la expresaremos por v. Su derivada será v´ y sudiferencial dv = v´dx

Ø Supongamos que deseamos resolver una integral de la forma siguiente:

                                        I= ∫ u dv= ∫ u⋅ v′ dx

Es decir, la función integrando es el producto de la función u y la derivada de v. Dicho de otro modo, se trata de hallar las primitivas de una función que es el producto de una función u por la diferencial de otra v.

¡Pues bien!

--Vamos a deducir una fórmula que nos permitirá resolver integrales de este tipo.

Veamos:

·       Sea (u·v)(x) = u (x)·v(x) la función producto de u y v. Para abreviar expresaremos u·v

·       Derivemos la función producto: (u·v)´= u´· v + u · v´ (recuerda “derivada de un producto)

·       La diferencial de la función producto será:

          d(u·v) = (u·v)´dx = v · du + u · dv = v · u´dx + u · v´dx

·       Si consideramos la igualdad d(u·v) = v · du + u · dv e integramos en ambos miembros:

           ∫ d (u⋅v) = ∫ ( v ⋅ du + u⋅ dv)          =      ∫ v⋅ du + ∫ u⋅ dv

·       Considerando que la integración es la operación recíproca de la derivación, es decir, “la   integral de la derivada de una función es esa función”:

                               ∫ d (u⋅ v) = ∫(u v) ′ dx  =u v

·       Considerando las dos igualdades anteriores, podemos poner:

                              u⋅ v= ∫ v⋅ du + ∫u⋅ dv

·       Recordemos que el objetivo es calcular la integral  I= ∫ u⋅ dv     por lo que despejando:

                      ∫ u⋅ dv= u⋅v - ∫ v ⋅ du

que es la fórmula del método de integración por partes, la cual nos permite resolver la

integral si antes somos capaces de resolver la integral I u dv = ⋅ ∫

v du

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicios por 

• INTEGRACIÓN DIRECTA
• INTEGRACIÓN POR PARTES
• INTEGRACIÓN PONNR SUSTITUCIÓN O CAMBIO  DE VARIABLE

EJERCICIO NUMERO 1

∫(3X+4)dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 2

 ∫ (CosX-5senX-7)dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 3

 ∫ -8x4+3x2+9 / 3x3  dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 4

 ∫ cot² x(1+tan² x) dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 5

SOLUCIÓN

INTEGRACIÓN POR PARTES

EJERCICIO NUMERO 6

∫xe^x d^x

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 7

∫ Inx dx :    INTEGRAL DE UN LOGARITMO

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 8

∫x senx dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 9

∫xe^x dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 10

∫Inx / x³ dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 11

∫x³e^x dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 12

∫arc cotgx dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 13

∫x cosx dx

SOLUCIÓN

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE

EJERCICIO NUMERO 14

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 15

∫X²(X³-1)¹⁰ dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 16

∫ (x²-4x + 4)^4/3 dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 17

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 18

∫ cosx (2+sin x)⁵ dx

SOLUCIÓN

EJERCICIO NUMERO 19

∫1 / 5+3cos(x) dx

SOLUCIÓN

CURIOSIDADES MATEMATICAS

• ALGUNOS CONCEPTOS PARA RECORDAR
  
  
  
  
  
  
  • Algunas integrales se pueden desarrollar de forma directa, pero en otro caso. se deben utilizar otros métodos como los que hemos trabajado en este blog que son por SUSTITUCIÓN  (CAMBIO DE VARIABLE ) o por INTEGRACIÓN POR PARTES para encontrar una integral directa, pero es importante tener en cuenta que existen otros métodos.
  
  
  
  
  
  
  
  •  Es importante tener en cuenta que para iniciar procesos o operaciones con integrales, es importante conocer y tener claro los procesos y conceptos de DERIVADAS. 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  •  Las dos rayas = que indican igualdad las empezó a utilizar un matemático      inglés llamado Robert Recorde que vivió hace más de cuatrocientos años. En uno de sus libros cuenta que eligió ese signo porque “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas
  
  
  
  
  
  
  
  
  • Lo signos de multiplicación x y división : fueron introducidos por William Oughtred (1574 – 1660) en el año 1657
  
  
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